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문제 링크 : https://www.acmicpc.net/problem/2098

문제

외판원 순회 문제는 영어로 Traveling Salesman problem (TSP) 라고 불리는 문제로 computer science 분야에서 가장 중요하게 취급되는 문제 중 하나이다. 여러 가지 변종 문제가 있으나, 여기서는 가장 일반적인 형태의 문제를 살펴보자.

1번부터 N번까지 번호가 매겨져 있는 도시들이 있고, 도시들 사이에는 길이 있다. (길이 없을 수도 있다) 이제 한 외판원이 어느 한 도시에서 출발해 N개의 도시를 모두 거쳐 다시 원래의 도시로 돌아오는 순회 여행 경로를 계획하려고 한다. 단, 한 번 갔던 도시로는 다시 갈 수 없다. (맨 마지막에 여행을 출발했던 도시로 돌아오는 것은 예외) 이런 여행 경로는 여러 가지가 있을 수 있는데, 가장 적은 비용을 들이는 여행 계획을 세우고자 한다.

각 도시간에 이동하는데 드는 비용은 행렬 W[i][j]형태로 주어진다. W[i][j]는 도시 i에서 도시 j로 가기 위한 비용을 나타낸다. 비용은 대칭적이지 않다. 즉, W[i][j] 는 W[j][i]와 다를 수 있다. 모든 도시간의 비용은 양의 정수이다. W[i][i]는 항상 0이다. 경우에 따라서 도시 i에서 도시 j로 갈 수 없는 경우도 있으며 이럴 경우 W[i][j]=0이라고 하자.

N과 비용 행렬이 주어졌을 때, 가장 적은 비용을 들이는 외판원의 순회 여행 경로를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 도시의 수 N이 주어진다. (2 ≤ N ≤ 16) 다음 N개의 줄에는 비용 행렬이 주어진다. 각 행렬의 성분은 1,000,000 이하의 양의 정수이며, 갈 수 없는 경우는 0이 주어진다. W[i][j]는 도시 i에서 j로 가기 위한 비용을 나타낸다.

항상 순회할 수 있는 경우만 입력으로 주어진다.

출력

첫째 줄에 외판원의 순회에 필요한 최소 비용을 출력한다.

접근 방법

처음에는 DFS로 완전탐색을 생각했었는데,

1->2->3->4->1

2->3->4->1->2

이와 같이 중복이 발생하므로 DP와 비트연산을 사용했다.

먼저 아래와 같이 정의한다. 

- W : 그래프 G = (V,E)의 인접 행렬 (노드의 연결 관계 나타냄)

- V : 모든 도시의 집합

- A : V의 부분 집합

- D[Vi][A] : A에 속한 도시를 한 번씩만 방문해서 Vi -> V1(시작 노드)로 가는 최단 경로의 길이

여기서 우리가 구할 것은 A가 시작노드인 V1만 제외한 부분집합일 때 즉,  D[Vi][A-{V1}]을 구하는 것이다. 

이제 재귀 관계식을 구하면 아래와 같다. 

- A가 공집합이라면, D[Vi][공집합]은 아무것도 거치지 않고 다이렉트로 Vi -> V1으로 가는 경우이다. 이것은 인접행렬로부터 값을 바로 얻을 수 있다.

- A가 공집합이 아니라면, D[Vi][A]는 두 파트로 나뉜다.

1) W[i][j] : 처음 시작 노드 Vi에서 Vj로 가는 거리(다이렉트 거리)

2) D[Vj][A-{Vj}] : Vj에서 시작해서 {Vi, Vj를 제외한 모든 노드}를 방문하고 다시 시작 노드 Vi로 가는 경로의 길이

예를 들어, j = 2이면 A - {Vj} = {V3, V4}이고, 시작노드 Vi를 V1이라고 하자.

그럼 D[v1][{V3, V4}] = min(W[1][2] + D[V2][{V3, V4}]) = min(length(V1,V2,   V3,V4,V1) , length(V1,V2,    V4,V3,V1))이다.

자세한 설명은 주석으로 표시했다. 

//
//  비트_BOJ2098_외판원순회.cpp
//  Coding_Test_Practice
//
//  Created by 김난영 on 2021/07/06.
//  Copyright © 2021 KimNanyoung. All rights reserved.
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#include <iostream>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define INF 987654321
#define MAX 16
int N;
int W[MAX][MAX];
int dpCost[MAX][1<<MAX];   //1<<16 = 2^16개의 노드의 방문 여부를 비트로 표시.
int allVisitBit;

int DFStravel(int cur_node, int visited_bit){   //cur_node : 현재 위치 , visited_bit : 현재 위치를 포함해서 방문했던 곳들 비트로 표현
    
    if(visited_bit == allVisitBit){             //다 돌았는데
        if(W[cur_node][0]==0) return INF;   //현재 위치에서 첫 시작 노드(0번)로 돌아갈 수 없으면
        else return W[cur_node][0];         //다 돌고 첫 시작노드로 돌아갈 수 있으면??
    }
    
    //-1이 아니라면 자명한 최소값(dpCost[][]) 바로 리턴.
    if(dpCost[cur_node][visited_bit] != -1 ) return dpCost[cur_node][visited_bit];
    
    //-1이라면
    dpCost[cur_node][visited_bit] = INF;
    for(int i = 0; i<N; i++){
        
        if(W[cur_node][i] == 0) continue;   //연결 안 되어 있어서 길이 없거나
        if((visited_bit) & (1<<i)) continue;    //이미 방문한 곳이면
        
        //DFStravel(i, visited_bit|1<<i) : 현재 노드에서 재귀적으로 다음 노드 방문.
        dpCost[cur_node][visited_bit] = min(dpCost[cur_node][visited_bit],
                                            W[cur_node][i] + DFStravel(i, visited_bit|1<<i));
    }
    return dpCost[cur_node][visited_bit];
}



int main(){
    
    cin >> N;
    
    for(int i = 0; i<N; i++){
        for(int j = 0; j<N; j++){
            cin >> W[i][j];
        }
    }
    
    allVisitBit = (1<<N) - 1;       //N개 노드 모두 다 방문한 경우 (111...11)
    memset(dpCost, -1, sizeof(dpCost));
    
    int ans = DFStravel(0,1); //0 : 0번 노드가 첫 시작노드 / 1 : 1은 2^0 -> 즉 시작 노드인 0번 노드를 방문했음을 표시)
    //어떤 도시에서 출발하던 비용은 같으므로 0번 노드를 첫 시작노드로 임의 설정.
    
    cout << ans;
    
    return 0;
}

참고 : (https://yabmoons.tistory.com/358),(https://www.youtube.com/watch?v=wj44Dd0zdzM)